Question

為了保護環境,發展低碳經濟,某單位在國家科研部門的支持下,進行技術攻關,新上了把二氧化碳處理轉化為一種可利用的化工產品的項目,經測算,該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似地表示為
y=
且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為200元,若該項目不獲利,國家將給予補償.
(1)當x∈[200,300]時,判斷該項目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損?
(2)該項目每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?

Answer 1

(1) 國家每月至少補貼5000元才能使該項目不虧損
(2) 當每月的處理量為400噸時,才能使每噸的平均處理成本最低.

(1)該項目不會獲利.
當x∈[200,300]時,設該項目獲利為S,
則S=200x-(x²-200x+80000)
=-x²+400x-80000=-(x-400)²,
所以當x∈[200,300]時,S<0,因此該項目不會獲利.
當x=300時,S取得最大值-5000,
所以國家每月至少補貼5000元才能使該項目不虧損.
(2)由題意,可知二氧化碳的每噸處理成本為:
=
①當x∈[120,144)時,
=x²-80x+5040=(x-120)²+240,
所以當x=120時,取得最小值240.
②當x∈[144,500]時,=x+-200≥
2-200=200,
當且僅當x=,
即x=400時,取得最小值200.
因為200<240,所以當每月的處理量為400噸時,才能使每噸的平均處理成本最低.