Question

(理)已知一個袋中裝有3個白球和3個紅球,這些球除顏色外都相同.

(1)每次從袋中取一個球,取出后不放回,直到取出1個紅球為止,求取球次數ξ的分布列和數學期望Eξ;

(2)每次從袋中取一個球,取出后放回接著再取一個球,這樣取3次,求取出紅球次數η的數學期望Eη.

(文)已知關于x的不等式log_a(8-ax)＞1在區間［1,2］上恒成立,求實數a的取值范圍.

Answer 1

(理)解：(1)ξ的取值為1,2,3,4,2分

P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,

P(ξ=3)=,P(ξ=4)=.                              

ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P

∴Eξ=1×+2×.                                     

(2)每次取出紅球的概率為,                                             

則η&B(3,).                                                               

Eη=3×=.                                                               

(文)解：當a＞1時,log_a(8-ax)＞1log_a(8-ax)＞log_aa8-ax＞aa＜(x∈［1,2］).  

根據條件,a應小于f(x)=(x∈［1,2］)的最小值是,∴1＜a＜.                 

當0＜a＜1時,log_a(8-ax)＞1log_a(8-ax)＞log_aa0＜8-ax＜a(x∈［1,2］).  

根據條件,a應小于f₁(x)=(x∈［1,2］)的最小值4;同時a應大于f₂(x)=(x∈［1,2］)的最大值4,即4＜a＜4,不成立.                                                   

綜上,a的取值范圍是(1,).