Question

.（滿分12分）某射擊比賽，開始時在距目標100米處射擊，如果命中記3分，且停止射擊；若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但目標已在150米處，這時命中記2分，且停止射擊；若第二次仍未命中還可以進行第三次射擊，但此時目標已在200米處，若第三次命中則記1分，并停止射擊；若三次都未命中，則記0分。已知射手在100米處擊中目標的概率為，他的命中率與目標距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的。
（1）求這名射手在射擊比賽中命中目標的概率；
（2）求這名射手在比賽中得分的數學期望。

Answer 1

（1）為1-P(D)=
(2)

本試題主要是考查了概率的運用。古典概型概率的計算，以及相互獨立事件概率的乘法公式的綜合運用，以及數學的分布列和期望值的求解問題。
（1）由于記“第一、二、三次射擊命中目標”分別為事件A,B,C,“三次都未擊中”為事件D，則P(A)= 設在x米處擊中概率為P(x)則P(x)= ，根據因為 x=100時P(A)= 所以k=5000,得到解析式。從而得到各個事件的概率值，
（2）根據上一問中概率值，可知隨機變量取值的各個概率值，然后得到分布列和數學期望值。
記“第一、二、三次射擊命中目標”分別為事件A,B,C,“三次都未擊中”為事件D，
則P(A)= 設在x米處擊中概率為P(x)則P(x)=  
因為 x=100時P(A)= 所以k=5000,       P(x)=
P(B)=       P(C)=  P(D)=
（1）為1-P(D)=
(2)