Question

【題目】已知函數在區間單調遞減，在區間單調遞增.函數.

（1）請寫出函數與函數在的單調區間；（只寫結論，不需證明）

（2）求函數的最大值和最小值；

（3）討論方程實根的個數.

Answer 1

【答案】（1）的減區間是，增區間是；的減區間是，增區間是；（2）最小值，最大值；（3）詳見解析.

【解析】

（1）由已知函數的單調區間，即可得到所求的兩個函數的單調區間；

（2）化簡的函數解析式，再由已知結論，可得函數在上單調遞減，在上單調遞增，即可得到所求函數的最值；

（3）化簡方程可得或，又函數在上單調遞減，在上單調遞增，分類討論可得到方程根的個數.

根據條件，的單調遞減區間是

單調遞增區間是；

函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是；

由可知，與均在單調遞減，在上單調遞增，

則有函數在單調遞減，在上單調遞增，

所以，；

由可得，

所以有或，

又函數在單調遞減，在單調遞增，

而，

所以當時，方程無實數根；

當時，有一個實數根；

當，且即，方程有兩個實數根；

當，，方程有三個實數根；

當時，方程有四個實數根．

綜上，當時，方程實根個數為0；

當時，方程實根個數為1；

當時，方程實根個數為2；

當，時，方程實根個數為3；

當時，方程實根個數為4．