Question

已知△ABC為正三角形，點(diǎn)A，B為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)C為橢圓一頂點(diǎn)，則該三角形的面積與橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)連成的菱形的面積之比為（　　）

A． 1 2

B． 1 4

C． 3 2

D． 3 3

Answer 1

不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，以AB所在的邊為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
則以A，B為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)C為橢圓一頂點(diǎn)的橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
依題意，a=2，c=1，
∴b=

22-11

=

3

，
∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1，
∴橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)連成的菱形的面積S=

1

2

×2a×2b=2ab=4

3

；
又S_△ABC=

1

2

|AB|•|AC|•sin60°=

3

，
∴該三角形的面積與橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)連成的菱形的面積之比為

3

4 3

=

1

4

．
故選B．