Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M、N分別在AB₁、BC₁上，且AM=AB₁，BN=BC₁，則下列結論：①AA₁⊥MN；②A₁C₁// MN；③MN//平面A₁B₁C₁D₁；④B₁D₁⊥MN，其中，
正確命題的個數是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

B

解；在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的四條棱A₁A，B₁B，C₁C，D₁D上分別取點G，F，E，H四點，
使AG= A₁A，BF=B₁B，CE=C₁C，DH= D₁D，連接GF，FE，EH，HG，
∵點M、N分別在AB₁、BC₁上，且AM=AB₁，BN= BC₁，
∴M在線段GF上，N點在線段FE上．且四邊形GFEH為正方形，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥平面GFEH，∵MN?平面GFEH，∴AA₁⊥MN，∴①正確．
∵A₁C₁∥GE，而GE與MN不平行，∴A₁C₁與MN不平行，∴②錯誤．
∵平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，MN?平面GFEH，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，∴③正確．
∵B₁D₁⊥FH，FH?平面GFEH，MN?平面GFEH，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，
且MN與FH不平行，∴B₁D₁不可能垂直于MN，∴④錯誤
∴正確命題只有①③
故選B