Question

【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC，E，F，E1分別是棱AA1 ， BB1 ， A1B1的中點．
（1）求證：CE∥平面C1E1F；
（2）求證：平面C1E1F⊥平面CEF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取CC1的中點G，連接B1G交C1F于點F1，連接E1F1，A1G，FG，

∵F是BB1的中點，BCC1B1是矩形，

∵四邊形FGC1B1也是矩形，

∴FC1與B1G相互平分，即F1是B1G的中點．

又E1是A1B1的中點，∴A1G∥E1F1．

又在長方體中，AA1綊CC1，E，G分別為AA1，CC1的中點，

∴A1E綊CG，∴四邊形A1ECG是平行四邊形，

∴A1G∥CE，∴E1F1∥CE．

∵CE平面C1E1F，E1F1平面C1E1F，

∴CE∥平面C1E1F

（2）證明：∵長方形BCC1B1中，BB1=2BC，F是BB1的中點，

∴△BCF、△B1C1F都是等腰直角三角形，

∴∠BFC=∠B1FC1=45°，

∴∠CFC1=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴C1F⊥CF．

∵E，F分別是矩形ABB1A1的邊AA1，BB1的中點，

∴EF∥AB．

又AB⊥平面BCC1B1，又C1F平面BCC1B1，

∴AB⊥C1F，∴EF⊥C1F．

又CF∩EF=F，∴C1F⊥平面CEF．

∵C1F平面C1E1F，∴平面C1E1F⊥平面CEF．

【解析】（1）要求證：CE∥平面C1E1F，取CC1的中點G，連接B1G交C1F于點F1，連接E1F1，A1G，FG，證明E1F1∥CE即可；（2）要證：平面C1E1F⊥平面CEF，證明C1F⊥CF，EF⊥C1F即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．