Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，∠PCA=90°，E，H分別為AP，AC的中點，AP=4，BE= ．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEH；
（Ⅱ）求直線PA與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為△ABC是邊長為2的正三角形，
所以BH⊥AC．
又因為E，H分別為AP，AC的中點，得EH∥PC，
因為∠PCA=90°，
所以EH⊥AC．
故AC⊥平面BEH．
（Ⅱ）解：取BH得中點G，連接AG．
因為EH=BH=BE=，所以EG⊥BH．
又因為AC⊥平面BEH，所以EG⊥AC，
所以EG⊥平面ABC．
所以∠EAG為PA與平面ABC所成的角．
在直角三角形EAG中，AE=2，EG=，
所以\sin∠EAG==．
所以PA與平面ABC所成的角的正弦值為．

【解析】（Ⅰ）證明：BH⊥AC，EH⊥AC，即可證明AC⊥平面BEH；
（Ⅱ）取BH得中點G，連接AG，證明∠EAG為PA與平面ABC所成的角，即可求直線PA與平面ABC所成角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．