Question

如圖所示是一個幾何體的直觀圖及它的三視圖（其中主視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，左視圖為直角三角形，尺寸如圖所示）．

（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）若G為BC的中點，求證：AE⊥PG．

Answer 1

分析：（I）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，求出棱錐的高PA的長，及底面面積，代入棱錐的體積公式即可得到答案．
（II）連BP，由已知中

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，∠EBA與∠BAP均為直角，我們可以得到∴△EBA∽△BAP，然后根據三角形性質，對應角相等，得到PB⊥AE，結合BC⊥AE，及線面垂直的判定定理，得到AE⊥面PBG，再由線面垂直的性質定理，即可得到答案．

解答：解（Ⅰ）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，（2分）
PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA=4

2

，BE=2

2

，AB=AD=CD=CB=4，（4分）
∴V_P-ABCD=

1

3

PA_xS_ABCD=

1

3

×4

2

×4×4=

64 2

3

．（5分）
（Ⅱ）連BP，∵

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，∠EBA=∠BAP=90°，（7分）
∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA=∠BEA，（8分）
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°，∴PB⊥AE．（10分）
又∵BC⊥面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥面PBG，∴AE⊥PG．（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質及由三視圖求體積，其中根據由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，高為PA為4

2

的四錐棱及其中相關的線面關系是解答本題的關鍵．