Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓的參數方程為（為參數），過點作斜率為的直線與圓交于，兩點.

（1）若圓心到直線的距離為，求的值；

（2）求線段中點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先由圓的參數方程消去參數得到圓的普通方程，由題意設直線的方程，再根據點到直線的距離公式即可求出結果；

（2）由題意，設直線的參數方程為（為參數），代入圓的方程，結合韋達定理寫出點E坐標，進而可求出結果.

解：（1）由題知，圓的普通方程為，

即圓的圓心為，半徑.

依題可設過點的直線的方程為，即，

設圓心到直線的距離為，

則，

解得.

（2）設直線的參數方程為（為參數），，代入圓：，

得.

設，，對應的參數分別為，，，則，

所以，.

又點的坐標滿足，

所以點的軌跡的參數方程為，即 ，

化為普通方程為.