Question

【題目】已知函數，，

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）欲求曲線在點處的切線方程，只需求出斜率和和的值，即可利用直線的點斜式方程求解切線的方程；

（2）求出，通過討論的取值范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可，可分兩種情況，求出函數的單調區間，得出函數的極值.

試題解析：

（1）時，，

所以，

因此曲線在點處的切線方程是

即

（2）

①當時，恒成立，

所以當時，單調遞減

當時，，單調遞增

所以當時，取極小值

②當時，由得或

（ⅰ）當，即時

由得或

由得

所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故時，取極大值，時，取極小值

（ⅱ）當，即時，恒成立

此時函數在上單調遞增，函數無極值

（ⅲ）當，即時

由得或

由得

所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故時，取極大值

時，取極小值.