Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，函數(shù)的最大值與最小值之差為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析；（2）.

【解析】

（1）方法一：利用單調(diào)性的定義來證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

方法二：利用平均變化率的定義得出函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率的正負來得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）由（1）中的結(jié)論可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得出該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，再利用函數(shù)的最大值與最小值之差為，可求出實數(shù)的值.

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增.證明如下：

方法一：，且，又，

則.

因為，所以，，，

所以，即.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

方法二：，，設(shè)，.

又因為、，所以，，故，

因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，

此時函數(shù)的最大值為，最小值為，

所以，即，解得.