Question

【題目】設函數，其圖象在點處切線的斜率為-3.

（1）求與關系式；

（2）求函數的單調區間（用只含有的式子表示）；

（3）當時，令，設是函數的兩個零點， 是與的等差中項，求證： （為函數的導函數）.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由導數的幾何意義得，即可得解；

（2）由（1）知， ，討論， 和時導數的正負，從而得函數的單調性；

（3）根據條件得，兩式作差得，從而得， ，構造函數求最值即可證得.

試題解析：

（1）函數的定義域為，

，由得， .

（2）由（1）知， ，

①當時， 在上單調遞減；

②當時，令，得，

在上單調遞減，在上單調遞增；

③當時，若時， 在上單調遞減；

若時， 在上單調遞增，在上單調遞減；

綜上，當時， 的單調減區間為，單調增區間為，

當時， 的單調減區間為，

當時， 的單調增區間為，單調減區間為.

（3）當時， ，則， ，

∵與是函數的兩個零點，∴，

兩式相減得， ，

∵，∴ ，

∵，∴ ，

∴ ，

令，∵，∴ ， ，

，

∴在單調遞減，∴， ，∴ .