Question

設(shè)F為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OFA=120°，且

FO

•

FA

=-8，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于

4

．

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量條件，進(jìn)而可得|

FA

|=

32

p

，再結(jié)合拋物線的定義可求得p，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．

解答：解：由y²=2px知焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（

p

2

，0）．
|

FO

|=

p

2

，
∵

FO

•

FA

=-8，
∴|

FO

|•|

FA

|cos∠OFA=-8，
即

p

2

•|

FA

|(-

1

2

)=-8，
∴|

FA

|=

32

p

①
又∠BFA=∠OFA-90°=30°，
過A作準(zhǔn)線的垂線AC，過F作AC的垂線，垂足分別為C，B．如圖，
A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：d=|AB|+|BC|=p+

32

p

×

1

2

，
根據(jù)拋物線的定義得：
d=|

FA

|=p +

32

p

×

1

2

②
由①②解得p=4，
則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于4
故答案為 4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．當(dāng)涉及拋物線的焦點(diǎn)弦的問題時(shí)，常利用拋物線的定義來解決．