Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x-y-2=0，拋物線C：y2=2px(p＞0).

（1）若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；
（2）已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.
①求證：線段PQ的中點坐標為（2-p ， -p）；
②求p的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）

解： ， 與 軸的交點坐標為

即拋物線的焦點為 ，

（2）

解：① 設點 ，

則： ，即 ，

又 關于直線 對稱，

即 ，

又 中點一定在直線 上

線段 上的中點坐標為 ；

② 中點坐標為

即

，即關于 有兩個不等根

， ，

【解析】（1）求出拋物線的焦點坐標，然后求解拋物線方程．（2）：①設點P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），通過拋物線方程，求解kPQ ， 通過P，Q關于直線l對稱，點的kPQ=﹣1，推出 ，PQ的中點在直線l上，推出 =2﹣p，即可證明線段PQ的中點坐標為（2﹣p，﹣p）；②利用線段PQ中點坐標（2﹣p，﹣p）．推出 ，得到關于y2+2py+4p2﹣4p=0，有兩個不相等的實數根，列出不等式即可求出p的范圍．