Question

【題目】已知為常數, ,函數,且方程有等

根.

(1)求的解析式及值域;

(2)設集合,,若,求實數的取值范圍；

(3)是否存在實數,使的定義域和值域分別為和?若存在,求

出的值;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在

【解析】分析：（1）由函數的解析式、f（2）=0，且方程f（x）=x有等根，求得a、b的值，可得f（x）的解析式．再利用二次函數的性質求得函數的值域．

（2）由題意可得AB，分①當A=時、②當A≠時兩種情況，分別利用二次函數的性質求得k的范圍，再取并集，即得所求．

（3）由條件可得，求得m、n的值，可得結論．

詳解：(1) ,且

又方程,即有等根,

,即,從而,.

又 ，值域為.

(2) ,

①當時, ,此時,解得；

②當時,設,對稱軸,要,只需,解得

，.

綜合①②,得.

(3) ,則有.

又因為對稱軸,所以在是增函數,即，

解得.

存在使的定義域和值域分別為和.