Question

某產品按質量分為10個檔次,生產第一檔(即最低檔次)的利潤是每件8元,每提高一個檔次,利潤每件增加2元,但在相同的時間內產量減少3件.在相同的時間內,最低檔的產品可生產60件.問在相同的時間內,生產第幾檔次的產品的總利潤最大?有多少元?

Answer 1

在相同的時間內,生產第9檔次的產品利潤最大,最大利潤為864元.

思路分析:在一定條件下,“利潤最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強度最大”等問題,在生產、生活中經常用到,在數學上這類問題往往歸結為求函數的最值問題.除了常見的求最值的方法外,還可用求導法求函數的最值.但無論采取何種方法都必須在函數的定義域內進行.
解法一:設相同的時間內,生產第x(x∈N^*,1≤x≤10)檔次的產品利潤y最大.      2分
依題意,得y=［8+2(x－1)］［60－3(x－1)］                              4分
=－6x²+108x+378=－6(x－9)²+864(1≤x≤10),                               8分
顯然,當x=9時,y_max=864(元),
即在相同的時間內,生產第9檔次的產品的總利潤最大,最大利潤為864元.       10分
解法二:由上面解法得到y=－6x²+108x+378.
求導數,得y′=－12x+108,令y′=－12x+108=0,
解得x=9.因x=9∈［1,10］,y只有一個極值點,所以它是最值點,即在相同的時間內,生產第9檔次的產品利潤最大,最大利潤為864元.
【名師指引】一般情況下,對于實際生活中的優化問題,如果其目標函數為高次多項式函數、簡單的分式函數簡單的無理函數、簡單的指數、對數函數,或它們的復合函數,均可用導數法求其最值.由此也可見,導數的引入,大大拓寬了中學數學知識在實際優化問題中的應用空間.