Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，過橢圓C的右焦點且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點，且|AB|= ．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點（1，0）的直線l交橢圓C于E，F兩點，若存在點G（﹣1，y0）使△EFG為等邊三角形，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e= = ，①由橢圓的通徑丨AB丨= = ，② 由a2=b2+c2 ， ③
解得：a=2 ，b= ，
∴橢圓的標準方程： ；
（Ⅱ）設直線l：x=ty+1，E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），
易知：t=0時，不滿足，故t≠0，
則 ，整理得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，
顯然△=4t2+28（t2+4）＞0，
∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，
于是x1+x2=t（y1+y2）+2= ，
故EF的中點D（ ，﹣ ），
由△EFG為等邊三角形，則丨GE丨=丨GF丨，
連接GD，則kGDkEF=﹣1，
即 =﹣1，整理得y0=t+ ，
則G（﹣1，t+ ），
由△EFG為等比三角形，則丨GD丨= 丨EF丨，丨GD丨2= 丨EF丨2 ，
∴（ +1）2+（t+ ）2= （1+t2）[（﹣ ）2﹣4×（﹣ ）]，
整理得：（ +1）2= ，
即（ ）2= ，解得：t2=10，則t=± ，
∴直線l的方程x=± y+1，即y=± （x﹣1）．
直線l的方程y=± （x﹣1）．

【解析】（Ⅰ）利用橢圓的離心率，橢圓的通徑公式，及a2=b2+c2及可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）設直線l的方程，代入橢圓方程，根據韋達定理及中點坐標公式求得D點坐標，根據等邊三角形的性質，求得G點坐標，由丨GD丨= 丨EF丨，即可取得t的值，即可求得直線l的方程．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．