Question

【題目】(導學號：05856309)

已知拋物線C的方程為x2＝4y，M(2,1)為拋物線C上一點，F為拋物線的焦點．

(Ⅰ)求|MF|；

(Ⅱ)設直線l2：y＝kx＋m與拋物線C有唯一公共點P，且與直線l1：y＝－1相交于點Q，試問，在坐標平面內是否存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N？若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)2；(2) 在坐標平面內存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，其坐標為(0,1)

【解析】試題分析：（1）求得拋物線的焦點和準線方程，根據拋物線的定義，即可得到所求|MF|；

（2）假設存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，由直線l2：y=kx+m與拋物線C有唯一公共點P知，直線l2與拋物線C相切，利用導數求出直線l2的方程，進而求出Q點坐標，根據直徑所對的圓周角為直角，利用，求出N點坐標．

試題解析：

(Ⅰ)由題可知2p＝4，即p＝2，由拋物線的定義可知|MF|＝1＋＝2.

(Ⅱ)由C關于y軸對稱可知，若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必在y軸上．

設N(0，n)，又設點P(x0，)，由直線l2：y＝kx＋m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與C相切．

由y＝x2得y′＝x，∴，

∴直線l2的方程為y－＝ (x－x0)，

令y＝－1得x＝，

∴Q點的坐標為(－，－1)，

∴＝(x0，－n)，＝(－，－1－n)．

∵點N在以PQ為直徑的圓上，

∴·＝－2－(1＋n)(－n)

＝(1－n)＋n2＋n－2＝0，①

要使方程①對x0恒成立，

必須有解得n＝1，

∴在坐標平面內存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，其坐標為(0,1).