Question

已知2f（x）+f（

1

x

）=-

3

x

（x≠0），則下列說法正確的是（　　）

A．f（x）為奇函數且在（-∞，0）上為增函數

B．f（x）為奇函數且在（-∞，0）上為減函數

C．f（x）為偶函數且在（-∞，0）上為增函數

D．f（x）為偶函數且在（-∞，0）上為減函數

Answer 1

分析：使用方程組法，可以求出函數f（x）的解析式，進而根據函數奇偶性的定義和函數單調性的性質，判斷出函數的奇偶性和單調性可得答案．

解答：解：∵2f（x）+f（

1

x

）=-

3

x

…①
∴2f（

1

x

）+f（x）=-3x…②
①×2-②得
3f（x）=-

6

x

+3x
∴f（x）=-

2

x

+x
易得在x≠0時，f（-x）=-f（x）恒成立，故函數為奇函數
又∵在（-∞，0）上y=-

2

x

為增函數，y=x也為增函數
∴f（x）=-

2

x

+x在（-∞，0）上為增函數
故選A

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，函數解析的求法，函數單調性的性質，其中利用方程組法求出函數的解析式是解答的關鍵．