Question

【題目】正三棱錐P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，對(duì)于以下結(jié)論：
①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范圍是（ ，π）；
②若MN⊥AM，則PC與平面PAB所成角的大小為 ；
③過(guò)點(diǎn)M與異面直線PA和BC都成 的直線有3條；
④若二面角B﹣PA﹣C大小為 ，則過(guò)點(diǎn)N與平面PAC和平面PAB都成 的直線有3條．
正確的序號(hào)是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①設(shè)底面正三角形的邊長(zhǎng)為1，過(guò)B作BD⊥PA，連結(jié)CD，則∠BDC是二面角B﹣PA﹣C大小，因?yàn)榈酌嫒�角形ABC是正三角形，所以∠CAB= ，所以當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限靠近點(diǎn)O時(shí)，即高無(wú)限小時(shí)，∠BDC接近 ，所以二面角B﹣PA﹣C大小的取值范圍是（ ，π），所以①正確．
②因?yàn)镃M=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，則PB⊥AM，因?yàn)镻﹣ABC是正三棱錐，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因?yàn)锳M∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因?yàn)镻﹣ABC是正三棱錐，所以必有PC⊥面PAB，所以PC與平面PAB所成角的大小為 ，所以②正確．
③因?yàn)橐驗(yàn)镻﹣ABC是正三棱錐，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA⊥BC．所以過(guò)點(diǎn)M與異面直線PA和BC都成 的直線有兩條，所以③錯(cuò)誤．
④若二面角B﹣PA﹣C大小為 ，則∠BDC= ，此時(shí)∠EDC= ，（其中E是BC的中點(diǎn)）， ，所以此時(shí)直線BC與平面PAC和平面PAB都成 ，又因?yàn)槠矫鍼AC和平面PAB的法向量的夾角為 ，此時(shí)適當(dāng)調(diào)整過(guò)N的直線，可以得到兩條直線使得過(guò)點(diǎn)N與平面PAC和平面PAB都成 ，所以滿足過(guò)點(diǎn)N與平面PAC和平面PAB都成 的直線有3條． 所以④正確．
所以答案是：①②④．