Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ， ， 垂直于底面， ， ， 分別為， 的中點．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求四棱錐的體積和截面的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先根據線面垂直性質定理得，而，所以由線面垂直判定定理得平面，即得, 再由等腰三角形性質得,因此由線面垂直判定定理得平面,即證得；（2）易得四棱錐的高,再根據錐體體積公式得四棱錐的體積;要求截面的面積,先確定截面的形狀:由三角形中位線性質得,即得，而平面，所以，即四邊形是直角梯形，最后利用直角梯形面積公式求解面積.

試題解析：（Ⅰ）證明：∵是的中點， ，∴，

由底面，得，

又，即，

∴平面，∴，∴平面

∴．

（Ⅱ）解：由，得底面直角梯形的面積，

由底面，得四棱錐的高，

所以四棱錐的體積．

由， 分別為， 的中點，得，且，

又，故，由（Ⅰ）得平面，又平面，

故，∴四邊形是直角梯形，

在中， ， ，

∴截面的面積．