Question

【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：對(duì)任意的，在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，；的單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由，令，解得或，解出不等式和，故而可得單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增，進(jìn)而分類討論：當(dāng)，即時(shí)，在遞減，在遞增；當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．利用零點(diǎn)存在定理可證對(duì)任意，在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn).

試題解析：（1），令，解得或，

∵，∴，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	＋	－	＋
	↗	↘	↗

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，；的單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）證明：由（1）可知，在內(nèi)的單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論：

（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，

，.

所以對(duì)任意，在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn).

（2）當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，若，，.

（也可由二次函數(shù)知識(shí)證明在上恒大于0）

所以在內(nèi)存在零點(diǎn).

若，，

（也可以利用求導(dǎo)的方法證明在上恒小于0）所以在內(nèi)存在零點(diǎn).

所以，對(duì)任意，在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn).

綜上，對(duì)任意，在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn)，原不等式成立.