Question

【題目】已知圓：，，是圓上的一個動點，線段的垂直平分線與線段相交于點.

（Ⅰ）求點的軌跡方程；

（Ⅱ）記點的軌跡為，，是直線上的兩點，滿足，曲線的過，的兩條切線（異于）交于點，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）由題意求出圓 的圓心坐標、半徑，由橢圓的定義判斷出曲線 的形狀為橢圓，橢圓的標準方程即為所求；（2）直線與曲線聯立，根據韋達定理，弦長公式、點到直線距離公式、三角形面積公式可得的面積，由基本不等式法求出面積取值范圍，可得答案.

試題解析：（Ⅰ）依題意得圓心，半徑，由于

.

所以點的軌跡方程是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，即，，則

，所以的軌跡方程是.

（Ⅱ）依題意，直線斜率存在且不為零，設為，令得，

同理.

設過點的切線為，代入得

.

由解得，

同理.

聯立兩條切線，解得.

，等號成立當且僅當，

所以四邊形面積的取值范圍是.

【方法點晴】本題主要考查定義法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求四邊形最值的.