Question

（2012•寶雞模擬）如圖，已知PA⊥平面ABC，且PA=

2

，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面ADE；
（2）求直線(xiàn)AB與平面ADE所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）欲證PC⊥平面ADE，根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理可知只需證PC與平面ADE內(nèi)兩相交直線(xiàn)垂直，而PC⊥AD，PC⊥AE，AE∩AD=A，滿(mǎn)足定理?xiàng)l件；
（2）在平面PBC上，過(guò)點(diǎn)B作BF平行于PC交ED延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接AF，根據(jù)線(xiàn)面所成角的定義知∠BAF為直線(xiàn)AB和平面ADE所成的角，在RT△BFA中求出此角即可．也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量來(lái)求．

解答：解：（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，又AB⊥BC，且PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB，從而B(niǎo)C⊥AD．…（3分）
又AD⊥PB，BC∩PB=B，所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，
又PC⊥AE，所以PC⊥平面ADE．…（6分）
（2）在平面PBC上，過(guò)點(diǎn)B作BF平行于PC交ED延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接AF，
因?yàn)镻C⊥平面ADE，
所以BF⊥平面ADE，∠BAF為直線(xiàn)AB和平面ADE所成的角．…（9分）
在三角形PBC中，PD=

2 3

3

，則BD=

3

3

，得BF=

1

2

．
在Rt△BFA中，sin∠BAF=

BF

BA

=

1

2

，
所以直線(xiàn)AB與平面ADE所成的角為30°．…（12分）
另解：過(guò)點(diǎn)B作BZ∥AP，則BZ⊥平面ABC，如圖所示，分別以BA，BC，BZ所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則A（1，0，0），C（0，1，0），P（1，0，

2

），因?yàn)镻C⊥平面ADE，設(shè)向量

PC

與

AB

所成的角為θ，
則cosθ=

PC • AB

| PC |•| AB |

=

(-1，1，- 2 )•(-1，0，0)

2

=

1

2

，
則直線(xiàn)AB與平面ADE所成的角為30°．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與平面垂直的判定，以及直線(xiàn)與平面所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．