Question

某個實心零部件的形狀是如下圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形的四棱臺，上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形的四棱柱.

（1）證明：直線平面；
（2）現需要對該零部件表面進行防腐處理.已知，，，（單位：），每平方厘米的加工處理費為元，需加工處理費多少元？

Answer 1

（1）詳見解析；（2）所需加工處理費為元.

試題分析：（1）先證，再證平面，從而得到平面，在證明平面的過程中，利用四邊形為正方形得到，再由直棱柱的性質得到平面，從而得到，再利用直線與平面垂直的判定定理得到平面；（2）先計算該幾何體的表面積，然后利用單價乘以表面積便可以得到加工處理費.
試題解析：（1）因為四棱柱ABCD－A₂B₂C₂D₂的側面是全等的矩形，
所以AA₂⊥AB，AA₂⊥AD，又因為AB∩AD＝A，所以AA₂⊥平面ABCD.
連接BD，因為BD?平面ABCD，所以AA₂⊥BD.
因為底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
根據棱臺的定義可知，BD與B₁D₁共面．
又已知平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，且平面BB₁D₁D∩平面ABCD＝BD，
平面BB₁D₁D∩平面A₁B₁C₁D₁＝B₁D₁，所以B₁D₁∥BD.于是
由AA₂⊥BD，AC⊥BD，B₁D₁∥BD，可得AA₂⊥B₁D₁，AC⊥B₁D₁，
又因為AA₂∩AC＝A，所以B₁D₁⊥平面ACC₂A₂.
（2）因為四棱柱ABCD－A₂B₂C₂D₂的底面是正方形，側面是全等的矩形，
所以S₁＝S_{四棱柱上底面}＋S_{四棱柱側面}＝(A₂B₂)²＋4AB·AA₂＝10²＋4×10×30＝1 300(cm²)．
又因為四棱臺A₁B₁C₁D₁－ABCD的上、下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形．
所以S₂＝S_{四棱臺下底面}＋S_{四棱臺側面}
＝(A₁B₁)²＋4×(AB＋A₁B₁)h_{等腰梯形的高}
＝20²＋4×(10＋20)
＝1120(cm²)．
于是該實心零部件的表面積為S＝S₁＋S₂＝1300＋1120＝2420(cm²)，
故所需加工處理費為0.2S＝0.2×2420＝484(元)．