Question

【題目】為響應德智體美勞的教育方針，唐徠回中高一年級舉行了由全體學生參加的一分鐘跳繩比賽，計分規則如下：

每分鐘跳繩個數					185以上
得分	16	17	18	19	20

年級組為了了解學生的體質，隨機抽取了100名學生，統計了他的跳繩個數，并繪制了如下樣本頻率直方圖：

（1）現從這100名學生中，任意抽取2人，求兩人得分之和小于35分的概率（結果用最簡分數表示）；

（2）若該校高二年級2000名學生，所有學生的一分鐘跳繩個數近似服從正態分布，其中，為樣本平均數的估計值（同一組中數據以這組數據所在區間的中點值為代表）．利用所得到的正態分布模型解決以下問題：

①估計每分鐘跳繩164個以上的人數（四舍五入到整數）

②若在全年級所有學生中隨機抽取3人，記每分鐘跳繩在179個以上的人數為，求的分布列和數學期望與方差．

（若隨機變量服從正態分布則，，）

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①；②的分布列為：

	0	1	2	3

【解析】

(1)先分析可得有四種大的情況,再根據排列組合的方法求概率即可.

(2)①根據正態分布的特點求解的概率再利用總人數求解即可.

②易得滿足二項分布,再根據二項分布的公式計算分布列與數學期望和方差即可.

(1)設“兩人得分之和小于35分”為事件,則事件包括以下四種情況：

①兩人得分均為16分；②一人得分16,一人得分17；

③一人得分16,一人得分18；④兩人均得17分.

由頻率分布直方圖可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人.

則由古典概型的概率計算公式可得.

故兩人得分之和小于35分的概率為

(2)由頻率分布直方圖可得樣本數據的平均數的估計值為：

,又由,得標準差,

所以高二年級全體學生的跳繩個數近似服從正態分布.

①因為,故.

故估計每分鐘跳繩164個以上的人數為

②由正態分布可得,全年級任取一人,其每分鐘跳繩個數在179以上的概率為.

所以,所有可能的取值為.

所以,

,

.

故的分布列為：

	0	1	2	3