Question

在平面直角坐標系中，已知A₁（-3，0）A₂（3，0）P（x，y）M（

x2-9

，0），若向量

A1P

，λ

OM

，

A2P

滿足(

OM

)2=3

A1P

•

A2P

（1）求P點的軌跡方程，并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線；
（2）過點A₁且斜率為1的直線與（1）中的曲線相交的另一點為B，能否在直線x=-9上找一點C，使△A₁BC為正三角形．

Answer 1

（1）由A₁（-3，0），A₂（3，0），P（x，y），M（

x2-9

，0），
可得

A1P

=(x+3，y)，

A2p

=(x-3，y)，

OM

=(

x2-9

，0)，
∵(

OM

)2=3

A1P

•

A2P

，∴x²-9=3（x+3，y）•（x-3，y），
即x²-9=3x²+3y²-27，也就是2x²+3y²-18=0，即

x2

9

+

y2

6

=1，
故P點的軌跡是與6為長軸長，2

3

為焦距，焦點在x軸上的橢圓；
（2）過點A₁且斜率為1的直線方程為y=x+3，
由

y=x+3 x2 9 + y2 6 =1

，得5x2+18x+9=0，x1=-3，x2=-

3

5

．
從而|A1B|=

1+k2

|x2-x1|=

12

5

2

．
設C（-9，y），則|A1C|=

(-9+3)2+(y-0)2

=

y2+36

．
∵△A₁BC是正三角形，∴|A1B|=|A1C|，

y2+36

=

12

5

2

，
即y2=-

612

25

，無解，
∴在直線x=-9上找不到點C，使△A₁BC是正三角形．