Question

已知函數.
（1）試判斷函數F（x）=(x²+1) f (x) – g(x)在[1，+∞)上的單調性；
（2）當0＜a＜b時，求證：函數f (x) 定義在區間[a,b]上的值域的長度大于（閉區間[m，n]的長度定義為n –m）．
（3）方程f(x)=是否存在實數根？說明理由。

Answer 1

（1）單調遞增
（2）略
（3）不存在實數根

（1）∵F（x）=(x²+1)lnx –2x+2．
∴F ′（x）= 2xlnx+．
∴當x≥1時，F′（x）≥0且僅當x = 1時F′（x）=" 0" ∴F（x）在（1，+∞）上單調遞增。
（2）∵0＜a＜b,f (x)在[a,b]上的值域為[lna,lnb]
∴要證值域的長度大于，
即證lnb – lna＞ 
只要證ln 
∵0＜a＜b,∴令 
則只要證lnx＞ （x>1）
即證（x²+1）lnx –(2x –2)>0  (※)
由（1）可知F(x)在（1，+∞）上單調遞增∴F（x）＞F（1）=" 0" 所以（※）式成立．
∴f (x)在[a, b]上的值域的長度大于．……9分
（3）∵f (x) =  xlnx= 
令h (x) = xlnx(x>0)．則h ′（x）=lnx+1，
易知，在上單調遞減，在上單調遞增
當時，
令，則
易知，在上單調遞增，在上單調遞減
當時，
∵∴方程f(x)=不存在實數根