Question

【題目】已知函數f（x）＝aex﹣2x+1．

（1）當a＝1時，求函數f（x）的極值；

（2）若f（x）＞0對x∈R成立，求實數a的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）極小值為3﹣2ln2，無極大值；（2）．

【解析】

（1）求導，判斷函數單調性，根據單調性求得極值；

（2）分離參數，構造函數，求解函數的最值，即可求得參數的范圍.

（1）當a＝1時，f（x）＝ex﹣2x+1，則f′（x）＝ex﹣2，

令f′（x）＜0，解得x＜ln2；令f′（x）＞0，解得x＞ln2；

故函數f（x）在（﹣∞,ln2）上遞減，在（ln2,+∞）上遞增，

故函數f（x）的極小值為f（ln2）＝2﹣2ln2+1＝3﹣2ln2，無極大值；

（2）f（x）＞0對x∈R成立，即為對任意x∈R都成立，

設，則a＞g（x）max

，

令g′（x）＞0，解得；令g′（x）＜0，解得；

故函數g（x）在遞增，在遞減，

∴，

故實數a的取值范圍為．