Question

在R上定義運算：x⊕y=

x

2-y

，若關于x的不等式x⊕（x+a-1）＞0的解集是集合{x|-2≤x≤2}的子集，則實數a的取值范圍是

[1，5]

．

Answer 1

分析：由新定義可化為關于x的一元二次不等式，對a分類討論求出其解集，再利用已知條件即可求出．

解答：解：由關于x的不等式x⊕（x+a-1）＞0，即

x

2-(x+a-1)

＞0，可化為x[x-（3-a）]＜0．（*）
①當3-a＞0即a＜3時，不等式（*）的解集為{x|0＜x＜3-a}．∵不等式（*）的解集是集合{x|-2≤x≤2}的子集，∴3-a≤2，又a＜3，解得1≤a＜3；
②當3-a=0即a=3時，不等式（*）可化為x²＜0，其解集為∅是集合{x|-2≤x≤2}的子集，滿足題意，因此a=3；
③當3-a＜0即a＞3時，不等式（*）的解集為{x|3-ax＜0}．∵不等式（*）的解集是集合{x|-2≤x≤2}的子集，∴3-a≥-2，又a＞3，解得3＜a≤5．
綜上可知：實數a的取值范圍是[1，5]．
故答案為[1，5]．

點評：正確理解新定義、熟練掌握分類討論方法和解出一元二次不等式是解題的關鍵．