【題目】設(shè)橢圓
(
)的離心率為
，圓
與
軸正半軸交于點
，圓
在點處的切線被橢圓
截得的弦長為
．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設(shè)圓上任意一點
處的切線交橢圓于點
，試判斷
是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.
【答案】（1）
； （2）見解析.
【解析】
（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計算A的坐標(biāo)，計算切線與橢圓交點坐標(biāo)，代入橢圓方程，計算參數(shù)，即可。（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示
，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可。
(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為
，由橢圓的離心率為
知，
，
∴橢圓
的方程可設(shè)為
.
易求得
，∴點
在橢圓上，∴
，
解得
，∴橢圓的方程為.
(Ⅱ)當(dāng)過點
且與圓
相切的切線斜率不存在時，不妨設(shè)切線方程為
，由(Ⅰ)知，
，
，∴
.
當(dāng)過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設(shè)切線的方程為
，
，
∴
，即
.
聯(lián)立直線和橢圓的方程得
，
∴
，得
.
∵
，
∴
，
，
∴.
綜上所述，圓上任意一點處的切線交橢圓于點
，都有.
在
中，由
與
相似得，
為定值.
舉一反三單元同步過關(guān)卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知焦點在x軸的橢圓C：
離心率e=
，A是左頂點，E（2，0）
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）若斜率不為0的直線l過點E，且與橢圓C相交于點P，Q兩點，求三角形APQ面積的最大值
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，寫出
的單調(diào)遞增區(qū)間（不需寫出推證過程）；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，若直線y＝4與函數(shù)的圖像交于A，B兩點，記
，求
的最大值；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程
在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問到誰申請了北京大學(xué)的自主招生考試時，甲說：“丙或丁申請了”；乙說：“丙申請了”；丙說：“甲和丁都沒有申請”；丁說：“乙申請了”，如果這四位同學(xué)中只有兩人說的是對的，那么申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
）.
（Ⅰ）若
，當(dāng)
時，求
的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)
有唯一的零點，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）若不等式
在
上恒成立，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)
恰好有三個零點，求b的值及該函數(shù)的零點．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
．
（Ⅰ）若
是函數(shù)
的極值點，
和
是函數(shù)
的兩個不同零點，且
，
，求
；
（Ⅱ）若對任意
，都存在
（
為自然對數(shù)的底數(shù)），使得
成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校為緩解高三學(xué)生的高考壓力，經(jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓(xùn)練活動，經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練后從該年級800名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行測試，并將其成績分為
、
、
、
、
五個等級，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示（視頻率為概率），根據(jù)圖中抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)，回答下列問題：
（1）試估算該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)?/span>
的人數(shù)；
（2）若等級
、
、
、
、
分別對應(yīng)100分、90分、80分、70分、60分，學(xué)校要求當(dāng)學(xué)生獲得的等級成績的平均分大于90分時，高三學(xué)生的考前心理穩(wěn)定，整體過關(guān)，請問該校高三年級目前學(xué)生的考前心理穩(wěn)定情況是否整體過關(guān)？
（3）以每個學(xué)生的心理都培養(yǎng)成為健康狀態(tài)為目標(biāo)，學(xué)校決定對成績等級為
的16名學(xué)生（其中男生4人，女生12人）進(jìn)行特殊的一對一幫扶培訓(xùn)，從按分層抽樣抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..
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