如圖，在橢圓C中，點F₁是左焦點，A（a，0），B（0，b）分別為右頂點和上頂點，點O為橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的射影．
（1）求證：當a取定值時，點H必為定點；
（2）如果點H落在左頂點與左焦點之間，試求橢圓離心率的取值范圍；
（3）如果以OP為直徑的圓與直線AB相切，且凸四邊形ABPH的面積等于 $數(shù)學公式$ ，求橢圓的方程．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，OP∥AB，得 $\text{[math]}$ ，
代入橢圓方程 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∵PH⊥x軸，∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∵a為定值，∴H為定點；（4分）
（2）∵點H落在左頂點與左焦點之間，
∴只有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
可解得 $\text{[math]}$ ；（4分）
（3）以OP為直徑的圓與直線AB相切等價于點O到直線AB的距離等于 $\text{[math]}$ ．
由條件設直線 $\text{[math]}$ ，
則點O到直線AB的距離 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ①
又由 $\text{[math]}$ ，
得ab=4．②由①②解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以所求橢圓方程為： $\text{[math]}$ ．（6分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，OP∥AB，得 $\text{[math]}$ ，代入橢圓方程 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，由此能夠證明當a取定值時，點H必為定點．
（2）由點H落在左頂點與左焦點之間，知只有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，由此能求出橢圓離心率的取值范圍．
（3）以OP為直徑的圓與直線AB相切等價于點O到直線AB的距離等于 $\text{[math]}$ ．由條件設直線 $\text{[math]}$ ，點O到直線AB的距離 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ ，
能夠得到所求橢圓方程．
點評：本題考查定點的證明、離心率取值范圍的確定和橢圓方程的求法，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．

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如圖，在橢圓C中，點F₁是左焦點，A（a，0），B（0，b）分別為右頂點和上頂點，點O為橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的射影．
（1）求證：當a取定值時，點H必為定點；
（2）如果點H落在左頂點與左焦點之間，試求橢圓離心率的取值范圍；
（3）如果以OP為直徑的圓與直線AB相切，且凸四邊形ABPH的面積等于3+

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=1中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左右兩個焦點，P為橢圓上且在第一象限內(nèi)的點，△PF₁F₂的重心為G，內(nèi)心為I．
（1）求證：IG∥F₁F₂；
（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F₂與橢圓C交于M，N兩點，若AM，AN的斜率k₁，k₂滿足k1+k2=-

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中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左右兩個焦點，P為橢圓上且在第一象限內(nèi)的點，△PF₁F₂的重心為G，內(nèi)心為I．
（1）求證：IG∥F₁F₂；
（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F₂與橢圓C交于M，N兩點，若AM，AN的斜率k₁，k₂滿足

，求直線l的方程．

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