Question

如圖，在橢圓C中，點F₁是左焦點，A（a，0），B（0，b）分別為右頂點和上頂點，點O為橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的射影．
（1）求證：當a取定值時，點H必為定點；
（2）如果點H落在左頂點與左焦點之間，試求橢圓離心率的取值范圍；
（3）如果以OP為直徑的圓與直線AB相切，且凸四邊形ABPH的面積等于，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，OP∥AB，得，代入橢圓方程，得，由此能夠證明當a取定值時，點H必為定點．
（2）由點H落在左頂點與左焦點之間，知只有，且，由此能求出橢圓離心率的取值范圍．
（3）以OP為直徑的圓與直線AB相切等價于點O到直線AB的距離等于．由條件設直線，點O到直線AB的距離，又，所以，再由，
能夠得到所求橢圓方程．
解答：解：（1）由，OP∥AB，得，
代入橢圓方程，得，
∴或，
∵PH⊥x軸，∴或，
∵a為定值，∴H為定點；（4分）
（2）∵點H落在左頂點與左焦點之間，
∴只有，且，
可解得；（4分）
（3）以OP為直徑的圓與直線AB相切等價于點O到直線AB的距離等于．
由條件設直線，
則點O到直線AB的距離，又，
∴得①
又由，
得ab=4．②由①②解得，，
所以所求橢圓方程為：．（6分）
點評：本題考查定點的證明、離心率取值范圍的確定和橢圓方程的求法，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．