Question

已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知動直線與橢圓相交于、兩點. ①若線段中點的
橫坐標為，求斜率的值；②若點，求證：為定值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）①②見解析

解析試題分析：（Ⅰ）因為滿足， ，   ……2分
，解得，則橢圓方程為.          ……4分
（Ⅱ）①將代入中得
,                                         ……6分

,                                                     ……7分
因為中點的橫坐標為，所以，解得.         ……9分
②由（1）知，
所以            ……11分

                               ……12分

                                       ……14分
考點：本小題主要考查橢圓標準方程的求法、直線與橢圓的位置關系、韋達定理、中點坐標公式和向量的數量積的運算等綜合應用，考查學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力和邏輯推理、轉化能力和運算求解能力.
點評：直線與圓錐曲線的問題在高考中通常作為壓軸題出現，難度較大，特別是運輸量比較大，要多加練習，牢固掌握.