Question

【題目】已知橢圓，離心率，點在橢圓上．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設點P是橢圓C上一點，左頂點為A，上頂點為B，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的離心率，點在橢圓上，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓C的標準方程；（2）設 ，根據三點共線斜率相等，可分別求出 的坐標，利用兩點間的距離公式可將用 表示，結合點在橢圓上消去 即可得結果.

試題解析：（1）依題意得，設，則，

由點在橢圓上，有，解得，則，

橢圓C的方程為：

設，，，則，由APM三點共線，則有，即，解得，則，

由BPN三點共線，有，即，解得，

則

=

又點P在橢圓上，滿足，有，

代入上式得

=，

可知為定值。