Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為 （t為參數）．以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2acosθ（a＞0），且曲線C與直線l有且僅有一個公共點．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）設A、B為曲線C上的兩點，且∠AOB= ，求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直線l的參數方程為 （t為參數），

∴直線l的普通方程是x+ ﹣3=0，

∵曲線C的極坐標方程為ρ=2acosθ（a＞0），

∴曲線C的直角坐標方程是（x﹣a）2+y2=a2，

依題意直線l與圓相切，則d= =a，

解得a=﹣3，或a=1，

∵a＞0，∴a=1．

（Ⅱ）如圖，不妨設A（ρ1，θ），B（ρ2， ），

則ρ1=2cosθ， ，

|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2cosθ+2cos（ ）=3cosθ﹣ =2 cos（ ），

∴θ+ =2kπ，即 ，k∈Z時，|OA|+|OB|最大值是2 ．

【解析】（Ⅰ）直線l的參數方程消去參數，能求出直線l的普通方程；由曲線C的極坐標方程能求出曲線C的直角坐標方程，依題意直線l與圓相切，由此能求出a的值．（Ⅱ）設A（ρ1，θ），B（ρ2， ），則|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2cosθ+2cos（ ）=3cosθ﹣ =2 cos（ ），由此能求出|OA|+|OB|的最大值．