Question

【題目】已知函數f（x）=x3+x+1，若對任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】0＜a＜4
【解析】解：構造函數g（x）=f（x）﹣1=x3+x，則函數是奇函數，在R上單調遞增，

f（x2+a）+f（ax）＞2，等價于g（x2+a）+g（ax）＞0，

∴x2+a＞﹣ax，

∴x2+ax+a＞0，

∴△=a2﹣4a＜0

∴0＜a＜4，

所以答案是0＜a＜4．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．