Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，能否在y軸左側的橢圓上找到一點M，使點M到左準線l的距離|MN|為點M到兩焦點的距離的等差中項？若M存在，求出它的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

設存在符合題意的點M，其坐標為（m，n）（m＜0）
由橢圓的方程，可得a²=4，b²=3，∴c=

a2-b2

=1，
于是橢圓兩個焦點的坐標分別為F₁（-1，0），F₂（1，0）
且左準線l的方程為：x=

a2

c

，即x=-4，可得|MN|=m+4，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a=4
∴由|MN|是|MF₁|和|MF₂|的等差中項，得2|MN|=|MF₁|+|MF₂|=4，解之得|MN|=2，
∵|MN|=m+4，∴m+4=2，解之得m=-2，代入橢圓方程得n=0
因此，存在點橢圓上點M的坐標為（-2，0），滿足點M到左準線l的距離|MN|為點M到兩焦點的距離的等差中項．