Question

如圖：在橢圓

x2

25

+

y2

16

=1中有一內(nèi)接矩形ABCD（四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上），A點(diǎn)在第一象限內(nèi)．當(dāng)內(nèi)接矩形ABCD的面積最大時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（　　）

• A．（

  5 2

  2

  ，2

  2

  ）
• B．（

  5

  2

  ，2）
• C．（

  2

  2

  ，

  2

  ）
• D．（1，

  8 6

  5

  ）

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓參數(shù)方程設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，則橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的內(nèi)接矩形ABCD的面積可用A點(diǎn)坐標(biāo)表示，就把矩形ABCD的面積用含參數(shù)θ的式子表示，再利用正弦函數(shù)的有界性判斷θ為何值時(shí)，面積有最大值．

解答：解：∵A點(diǎn)在橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上，∴可設(shè)A（5cosθ，4sinθ）
∴矩形ABCD的面積為4×（5cosθ）（4sinθ）=80cosθsinθ=40sin2θ
∵sin2θ≤1，且當(dāng)2θ=

π

2

時(shí)等號(hào)成立，
∴40sin2θ≤40，且當(dāng)2θ=

π

2

時(shí)等號(hào)成立，
∴當(dāng)2θ=

π

2

，即θ=

π

4

時(shí)，橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的內(nèi)接矩形ABCD面積有最大值，此時(shí)A（

5 2

2

，2

2

）
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的參數(shù)方程在求最值時(shí)的應(yīng)用，其中結(jié)合了三角函數(shù)的有界性，屬于綜合題．