Question

【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 滿(mǎn)足an+1= ，n∈N* ， 且a2 ， a5 ， a14構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)一切正整數(shù)n都有 + +…+ ＜ ，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n≥2時(shí)，可得：4Sn= ﹣4n﹣1，4Sn﹣1= ﹣4（n﹣1）﹣1，

相減可得：4an=4Sn﹣4Sn﹣1= ﹣ ﹣4，化為： = ，∵an＞0，∴an+1=an+2，即an+1﹣an=2，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列．∵a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列．∴ =a2a14，

∴ =a2（a2+12×2），解得a2=3．

又n=1時(shí)，3=a2= ，解得a1=1．∴a2﹣a1=3﹣1=2．

∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1

（2）解： = = ．

∴ + +…+ = +…+ = ．

由 ≤ ，a≥ ．

∴實(shí)數(shù)a的最小值為

【解析】（1）由Sn和an 的關(guān)系可求出數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，再由已知可得a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的定義可求出a2=3。根據(jù)已知遞推公式可得a1=1，a2=3所以可求出公差d=2進(jìn)而得到數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列。（2）根據(jù)（1）整理由裂項(xiàng)相消法求和得到代數(shù)式，由放縮法可得該式小于，進(jìn)而得到a的最小值。