Question

【題目】已知平面直角坐標系內兩定點，及動點，的兩邊所在直線的斜率之積為.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設是軸上的一點，若（1）中軌跡上存在兩點使得，求以為直徑的圓面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由已知，列出方程，即可求解點的軌跡的方程；

（2）設點的坐標為，當直線斜率不存在時，可得，當直線斜率存在時，設直線的方程為，聯立方程組，求解，由此列出不等式組，進而求得，又由為長軸端點時，可求得的坐標點，求得的值，即可得到結論．

詳解：（1）由已知，即，

所以，又三點構成三角形，得

所以點的軌跡的方程為.

（2）設點的坐標為，

當直線斜率不存在時，可得分別是短軸的兩端點，得到，

當直線斜率存在時，設直線的方程為，，，

則由得①，

聯立，得，

由得，整理得.

由韋達定理得，，②

由①②，消去得，

由，解得，

又因為為長軸端點時，可求得點，此時，

綜上，或，又因為以為直徑的圓面積，

所以的取值范圍是.