Question

【題目】函數(shù)是的奇函數(shù)， 是常數(shù)．

（1）求的值；

（2）用定義法證明是的增函數(shù)；

（3）不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)，可直接利用f(-1)=f(1),f(0)=0解出a,b的值，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，證明步驟為：①取值②作差③變形斷號(hào)④給出結(jié)論；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解決恒成立的基本方法就是分離參數(shù)利用“極值原理”求出參數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（1） 是上的奇函數(shù)

.

（2）設(shè)，且，則

又

即

是上的增函數(shù)

（3）由題意得： 對(duì)任意恒成立

又是上的增函數(shù)

即對(duì)任意恒成立

令即對(duì)恒成立

令 對(duì)稱軸為

當(dāng)即時(shí)， 在為增函數(shù)， 成立

符合

當(dāng)即時(shí)， 在為減， 為增

解得

綜上

【點(diǎn)精】利用函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的解析式 ，當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，則f(-x)=-f(x)，可直接利用f(-1)=f(1),f(0)=0解出a,b的值，當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，利用f(-x)=f(x)求出參數(shù)，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，證明步驟為：①取值②作差③變形斷號(hào)④給出結(jié)論；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解決恒成立的基本方法就是分離參數(shù)利用“極值原理”求出參數(shù)的取值范圍.