Question

【題目】已知函數．

（1）求在上的最小值；

（2）若，當有兩個極值點時，總有，求此時實數的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）對函數求導，由于不能因式分解，但是能觀察出零點，進一步求二階導可知導函數單調，所以導函數只有唯一零。（2）由，所以方程 有兩個不同的實根 ，通過韋達定理把待證不等式消去，再分離參數t，可解。

試題解析：（Ⅰ） ，

, ∴

∴在單調遞增，又

∴， 在單調遞減

， 在單調遞增

∴

（Ⅱ），

根據題意，方程 有兩個不同的實根 ，

所以，且 ， ， ．

由

可得，又 ，

所以上式化為對任意的恒成立．

（I）當 時，不等式恒成立， ；

（II）當 時， 恒成立，即．

令函數，顯然， 是 上的增函數，

所以當 時， ，

所以 ．

（III）當 時， 恒成立，即．

由（II），當 時， ，所以 ．

綜上所述