Question

（2013•太原一模）已知函數f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式等價于①

x＜- 1 2 -2x-1+(3-2x)≤6

，或②

3 2 ≥ x  ≥- 1 2 2x+1+(3-2x)≤6

，或③

x＞ 3 2 2x+1+(2x-3)≤6

．
分別求出這3個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由絕對值不等式的性質求出f（x）的最小值等于4，故有|a-1|＞4，解此不等式求得實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x-3|≤6，
∴①

x＜- 1 2 -2x-1+(3-2x)≤6

，或②

3 2 ≥ x  ≥- 1 2 2x+1+(3-2x)≤6

，或③

x＞ 3 2 2x+1+(2x-3)≤6

．
解①得-1≤x＜-

1

2

，解②得-

1

2

≤x≤

3

2

，解③得

3

2

＜x≤2．
故由不等式可得

3

2

＜x≤2或-

1

2

≤x≤

3

2

或-1≤x＜-

1

2

，
即不等式的解集為{x|-1≤x≤2}．
（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，即f（x）的最小值等于4，
∴|a-1|＞4，解此不等式得a＜-3或a＞5．
故實數a的取值范圍為（-∞，-3）∪（5，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解．體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．