Question

（2013•太原一模）x、y滿足約束條件

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為7，則

3

a

+

4

b

的最小值為（　　）

A．14

B．7

C．18

D．13

Answer 1

分析：作出可行域，得到目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最優解，從而得到3a+4b=7，利用基本不等式即可．

解答：解：∵x、y滿足約束條件

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

，目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0），作出可行域：
由圖可得，可行域為△ABC區域，目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）經過可行域內的點C時，取得最大值（最優解）．
由

x-y=-1 2x-y=2

解得x=3，y=4，即C（3，4），
∵目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為7，
∴3a+4b=7（a＞0，b＞0），
∴

3

a

+

4

b

=

1

7

（3a+4b）•（

3

a

+

4

b

）
=

1

7

（9+

12b

a

+16+

12a

b

）≥

1

7

（25+2

12b a • 12a b

）=

1

7

×49=7（當且僅當a=b=1時取“=”）．
故選B．

點評：本題考查線性規劃，作出線性約束條件下的可行域，求得其最優解是關鍵，也是難點，屬于中檔題．