Question

【題目】如圖， 中， ， 分別是的中點，將沿折起成，使面面， 分別是和的中點，平面與， 分別交于點.

（1）求證： ；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）先根據三角形中位線性質得，再根據線面平行判定定理得平面，最后根據線面平行性質定理得結論（2）根據以及建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，由向量數量積得法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系求結果

試題解析：(1)證明：∵分別是的中點，∴，而平面， 平面，

∴平面

又平面平面，故.

（2）如圖，建立空間直角坐標系，由題意得：

， ， ， ， ，

∴， ， ， ，

設平面的一個法向量為，

則，令，解得，

∴

設平面的一個法向量為，

則，取，得，

設二面角的平面角為，

則，∴.

∴二面角的正弦值為.