Question

如圖，三棱柱中，側面為菱形，的中點為，且平面.

證明：
若,求三棱柱的高.

Answer 1

（1）詳見解析;（2）三棱柱的高為.

試題分析：（1）根據題意欲證明線線垂直通常可轉化為證明線面垂直，又由題中四邊形是菱形，故可想到連結，則O為與的交點，又因為側面為菱形，對角線相互垂直;又平面，所以，根據線面垂直的判定定理可得：平面ABO，結合線面垂直的性質：由于平面ABO，故;（2）要求三菱柱的高，根據題中已知條件可轉化為先求點O到平面ABC的距離，即：作，垂足為D，連結AD，作，垂足為H，則由線面垂直的判定定理可得平面ABC，再根據三角形面積相等： ，可求出的長度，最后由三棱柱的高為此距離的兩倍即可確定出高．
試題解析：（1）連結，則O為與的交點.
因為側面為菱形，所以.
又平面，所以，
故平面ABO.
由于平面ABO，故.

（2）作，垂足為D，連結AD，作，垂足為H.
由于，，故平面AOD，所以，
又，所以平面ABC.
因為，所以為等邊三角形，又，可得.
由于，所以,
由，且，得，
又O為的中點，所以點到平面ABC的距離為.
故三棱柱的高為.