Question

如圖（1）為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）如圖（2）所示的方框內已給出了該幾何體的俯視圖，請在方框內畫出該幾何體的正（主）視圖和側（左）視圖；并求四棱錐B-CEPD的體積；
（2）求證：BE∥平面PDA．
（3）求二面角P-AB-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中的直觀圖，結合“長對正，高平齊，寬相等”的原則，易畫出幾何體的三視圖，結合已知及面面垂直的判定和性質，求出BC⊥平面PDCE，代入錐體體積公式可得四棱錐B-CEPD的體積；
（2）根據已知結合面面平行的判定定理可得平面EBC∥平面PDA，進而根據面面平行的性質定理，可得BE∥平面PDA．
（3）由已知易分析出∠PAD即為二面角P-AB-C的平面角，解三角形PAD即可得到二面角P-AB-C的余弦值．
解答：解：（1）該組合體的正視圖和側視圖如下圖所示．

∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD．
∵BC⊥CD，
∴BC⊥平面PDCE．
∵S_梯形PDCE=（PD+EC）•DC=×3×2=3，
∴四棱錐B-CEPD的體積為
V_B-CEPD=S_梯形PDCE•BC=×3×2=2．
證明：（2）∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，
∴EC∥平面PDA．同理，BC∥平面PDA．
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC=C，
∴平面EBC∥平面PDA．
又∵BE?平面EBC，
∴BE∥平面PDA．
（3）∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AB
又∵底面ABCD為正方形
∴AD⊥AB
∴∠PAD即為二面角P-AB-C的平面角，
∵在Rt△PAD中，PD=AD
∴∠PAD=45°
則二面角P-AB-C的余弦值為
點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面所成的銳二面角大小的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．