Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且a1=1，當n≥2時，Sn=2an ．
（1）求證數列{an}為等比數列，并求出an的通項公式；
（2）設若bn=an+1﹣1，設數列{anbn}的前n項和為Tn ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，當n≥2時，Sn=2an，…①，Sn﹣1=2an﹣1，…②

①﹣②得：an=2an﹣2an﹣1，

∴an=2an﹣1，n≥2，∵a1=1，

∴ =2，

∴數列{an}是以1為首項，以2為公比的等比數列，

∴an=1×2n﹣1=2n﹣1．

（2）解：∵bn=an+1﹣1，∴anbn=an（an+1﹣1）=2n﹣1（2n﹣1）= ×4n﹣2n﹣1

∴Tn= ×

= ×4n﹣2n+

【解析】（1）由已知得an=2an﹣2an﹣1 ， 從而得到數列{an}是以1為首項，以2為公比的等比數列，由此能求出an ． （2）由anbn= ×4n﹣2n﹣1 ， 利用分組求和法能求出數列{anbn}的前n項和．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．